Die Unendlichkeit und das
Collatz-Problem (ein Seitenweg)
Der Mann der Wahrheit, sei er ein Künstler oder ein Handwerker, arbeitet in der Endlichkeit des Bekannten,
der Scharlatan in der Unendlichkeit des Unbekannten.
(Thomas Carlyle)
Was verbirgt sich hinter dem offensichtlich so widerspenstigen, einfach nur zeitraubend genannten Collatz-Problem, dass es gar als gefährlich eingestuft, vor der Beschäftigung mit ihm gar gewarnt wird?
In der Mathematik-Welt werden dem Collatz-Problem Verbindungen zur Zahlentheorie, zur Theorie dynamischer Systeme und Ergodentheorie sowie zur Theorie der Berechenbarkeit in der Informatik bescheinigt.
Aus kunstmathe-Sicht ist das Collatz-Problem geradezu ein Vorzeigebeispiel für ein rein menschengemachtes Problem, ein demnach folgerichtig menschlich lösbares Problem – wie geschaffen für Erkenntnisgewinn.
Die lange Historie des Collatz-Problems ist wohl nicht genau belegt, aber es könnte sich gekürzt und vereinfacht formuliert wie folgt real entwickelt haben :
Herr Collatz beschäftigt sich im Jahr 1937 mit der Graphentheorie. In diesem Zusammenhang konstruiert er ein Gesetz, ein einfaches Bildungsgesetz für Zahlenfolgen aus natürlichen Zahlen:
beginne mit einer natürlichen Zahl > 0,
wenn die Zahl gerade ist, dann dividiere sie durch 2,
wenn die Zahl ungerade ist, dann multipliziere sie mit 3 und addiere 1,
wiederhole die Vorgehensweise mit der erhaltenen Zahl.
Mit diesem Collatz-Funktion benannten Bildungsgesetz entstehen abhängig von der jeweiligen Startzahl individuelle Zahlenfolgen, individuelle Collatz-Folgen, die scheinbar immer von einer im individuellen Verlauf irgendwo erreichten größten Zahl schließlich auf den endlos wiederkehrenden Zyklus 4-2-1 abfallen.
Alternative Ergebnisse dazu könnten theoretisch sein:
Die Zahlenfolgen münden in einen anderen Zyklus oder in bis unendlich viele anderen Zyklen oder
die Zahlenfolgen wachsen grenzenlos.
Herr Collatz formuliert die Collatz-Vermutung, dass eben alle Collatz-Zahlenfolgen (mit allen natürlichen Zahlen als Startzahlen bis unendlich) mit dem Zyklus 4-2-1 enden.
Er kann das nicht beweisen. Die Vermutung mutiert damit zum Problem, zum sogenannten Collatz-Problem.
Die Collatz-Vermutung widersetzt sich bis heute allen Versuchen, sie zu beweisen oder sie zu widerlegen.
Neben anderen beurteilte auch Paul Erdös, ein bedeutender Mathematiker des 20. Jahrhunderts, das Collatz-Problem als fast unlösbar:
‚Die Mathematik ist für solche Probleme noch nicht bereit. Hoffnungslos. Absolut hoffnungslos.‘
Hier widerspricht der Kerl grundsätzlich:
Das Problem wurde mit althergebrachten mathemathischen Mitteln erzeugt.
Aus kunstmathe-Sicht müsste auch eine kreative Lösung, eine kunstvoll gestaltete innovative Lösung mit althergebrachten Mitteln sehr wohl darstellbar sein.
Damit ist nicht gesagt, dass das nicht ein sehr, sehr aufwendiges Vorhaben sein könnte.
Ich habe gelernt, dass der Weg des Fortschritts weder kurz noch unbeschwerlich ist.
(Marie Curie)
Was unterscheidet nun die
Aufgabe Echtzeit-Produktion endloser Folgen von Primzahlmehrlingen
von der
Aufgabe Beweisführung zur Collatz-Vermutung ?
Warum soll das Collatz-Problem aus kunstmathe-Sicht wohl anders schwierig, aber doch weniger schwierig sein?
Der wesentliche Vorteil bei der Lösungsfindung zur Collatz-Vermutung ist für den Kerl aus kunstmathe-Sicht, dass bereits ein großer Schritt auf dem Weg zur Lösung getan ist – und zwar mit der Formulierung einer gesetzmäßigen Bildungsvorschrift, mit der Konstruktion der Collatz-Funktion selbst.
Für Primzahlmehrlinge andererseits ist für den Kerl aus kunstmathe-Sicht eine vergleichbare Situation, ein vergleichbarer Fortschritt noch außerhalb jeder Sichtweite.
Zur weiteren Veranschaulichung konstruiert der Kerl eine etwas andere (rein hypothetische) Entwicklungsgeschichte des Collatz-Problems :
Herr C. stellt sich die folgende Aufgabe :
Formuliere eine Bildungsvorschrift,
mit der für alle natürlichen Zahlen bis unendlich als Startzahl
Folgen natürlicher Zahlen generiert werden können,
die immer in einem gleichen kreisförmigen Zyklus enden.
Herrn C. gelingt das mit Hilfe einer Kombination der menschengemachten Grundrechenarten Addition, Multiplikation und Division zur C.-Funktion.
Er hat mit der C.-Funktion also bereits die Lösung der Kernaufgabe erreicht – eine Lösung, die real und leicht überprüfbar für alle menschlich überblickbaren endlichen Varianten tatsächlich funktioniert.
Allein, es gelingt ihm leider nicht – auch mit dem Ziel weiteren Erkenntnisgewinns -, die Gültigkeit bis unendlich für den menschlichen Verstand unwiderlegbar zu beweisen.
Es gelte im – sicher schwierigen – Gesamtkontext ’nurmehr‘ ein Restproblem zu finden und zu lösen.
Damit ist der Kerl bei den ziemlich wichtigen Fragen angekommen, was die unbekannten Rest-Herausforderung ist, wie und wo sich das eigentliche Restproblem denn überhaupt finden, lösbar einkreisen und dann beherrschen lässt.
Gibt es gar mehrere Problemebenen? Wo sind eventuelle Schlüsselstellen und eventuelle Schlüsselelemente mit welchen unbekannten Rollen?
Ein Anknüpfungspunkt könnte die Dualität der Collatz-Funktion oder
das willkürlich wirkende Erscheinungsbild aneinandergereihter Collatz-Folgen selbst sein:
unmittelbar nebeneinanderliegende Folgen können
extrem unterschiedliche Verläufe und Längen oder
harmonisch wirkende Verläufe und gleiche Längen aufweisen.
Die tatsächliche Lösungsfähigkeit des Collatz-Problems würde voraussetzen, dass trotz großer optischer Unordnung eine starke ästhetische Ordnung herstellbar ist.
Wer sich die Fähigkeit erhält, Schönes zu erkennen, wird nicht alt.
(Franz Kafka)
Für das reale Vorankommen sieht der Kerl vor sich eine mögliche Wegschleife :
Gehe zur Kunst. Vergiss die Bilder nicht.
Kreiere durchgängige Grund- und/oder Randbedingungen für alle Collatz-Folgen.
Konstruiere, modelliere, komponiere mit althergebrachten mathematischen Mitteln ein oder mehrere durchgängige Methoden oder Bildungsgesetze für Folgen von Collatz-Folgen, die nur funktionieren, wenn alle Collatz-Folgen tatsächlich auf den endlos wiederkehrenden Zyklus 4-2-1 abfallen.
Kreiere durchgängige Grund- und/oder Randbedingungen für alle Folgen von Collatz-Folgen.
Entwickle eine virtuelle Maschinerie,
die Folgen von Collatz-Folgen aus beliebigen Start-Collatz-Folgen regelkonform generiert und
die diesen iterativen Prozess für beliebige Collatz-Folgen bis auf eine Start-Collatz-Folge zurück auch regelkonform eindeutig umkehren kann.
Wenn das Gebilde bis hierhin vollständig kreierbar und hinreichend stabil für die aktive Nutzung ist, baue auf diesem Fundament eine oder mehrere reale Maschinen,
die über besondere Fähigkeiten als endlos tragfähige Brücke bis in die Unendlichkeit dienen können und
deren Produkte die endlose Gültigkeit der Collatz-Vermutung belastbar in der menschlichen Endlichkeit repräsentieren.
CV-Maschine 1
(Maschine 1 zur Collatz-Vermutung)
Konstruiere eine Maschine, die mit Hilfe einer Komposition gesetzmäßig organisierter Prozesse für
beliebige Quell-Collatz-Folgen eindeutig bestimmte endlos lange und unbegrenzt viele individuelle Folgen von Collatz-Folgen umkehrbar produziert
– mit unbegrenzt wachsenden und vorhersagbaren individuellen Längen der jeweils einander iterativ folgenden Collatz-Folgen in jeweils allen produzierten Folgen von Collatz-Folgen,
– mit vollständiger Abdeckung und Integration lückenlos und endlos aller Collatz-Folgen mit allen natürlichen Zahlen als Startzahlen und
– ausschließlich in Echtzeit.
CV-Maschine n
Spezifiziere eventuell weitere Maschinen.
Die Erprobung eines Prototyps der CV-Maschine 1
mit dem implizierten Beweis, dass die Collatz-Vermutung zutrifft,
ist hier kurzfristig geplant.
Anschließend führt der Weg weiter zur Echtzeit-Produktion endloser Folgen von Primzahlmehrlingen.
[wird fortgesetzt]